三等分角

　　卢应相

　　摘 要：将任意一个角分成三等份。

　　关键词：任意角， ，三等份。

　　1 三等分任意角是古希腊数学家提出的世界三大几何难题之一。至今，世界上所有国家未能将这一难题破解(只提供没有刻度的直尺和圆规)。现在我终于发现了其中的奥秘，不需要用计量工具，只用没有刻度的直尺和圆规，完全能将一个任意的角分成三等份。

　　2 三等分任意角

　　2.1先作出一个任意角

　　如图所示：用直尺任意画一条线段，即OA。再过O点任意画一条直线l。用圆规取OA的长度为半径，以O点为圆心画弧线，交直线l于B点。则AO=OB，∠AOB为一个任意的角。连接AB，则AB为弧AB的弦。

　　2.2将AB弦分成三等份

　　如图所示：将OB分成两等份。即分别以O、B点为圆心，以大于OB长度的 为半径画两条相交的弧线，交于C点。再作CD OB，交OB于D点，D点为CD与OB的垂足点，亦是OB的中心点。则OD=DB。用圆规取OD的长度在直线l中分成三等份。即，EO=OD=DB。连接AE，那么，△AEB为一个任意三角形。在△AEB中，因为，EO=OD=DB。根据等比关系，作OF//EA，交AB于F点，作DG//OF，交AB于G点。则，AF=FG=GB。

　　2.3将弧AB分成两等份

　　如图所示：分别以A、B点为圆心，以大于AB长度的 为半径画两条相交的弧线，交于H点。连接OH，且作OH的延长线相交弧AB线于K点。连接AK、KB。则，AK=KB，弧AK=弧KB。

　　2.4证明三等分任意角

　　如图所示：在AB线段中，因为，AF=FG=GB。所以，F点为AG的中心点，G点为FB的中心点。现在分别作垂直于AG、FB的垂直线。即分别以A、G点为圆心，以大于AG长度的 为半径画两条相交的弧线，交于L点，连接LF，交AK于M点;再分别以F、B点为圆心，以大于FB长度的 为半径画两条相交的弧线，交于N点，连接NG，交KB于P点。

　　连接OM，交FG于T点，再作OM的延长线，交弧AK线于S点;连接OP，交FG于V点，再作OP的延长线，交弧KB线于U点。则，OS=OA=OU=OB。连接AS、SU、UB。则，△AOS、△UOB为等腰三角形;△ATS △BVU，ST=UV，AS=UB，弧AS=弧UB。则，∠AOS=∠UOB。因为，ST=UV，所以，SU//AB。

　　连接TU，作UT的延长线，交AO于W点。在四边形ATUS中，因为，AT=SU，SU//AB。所以，四边形ATUS为平形四边形。则，AS=TU，AS//WT，AW=ST。又因为，ST=UV，AW=ST。所以，AW=UV。又因为，OA=OU，AW=UV。所以，OW=OV。在△AOV和△WOU中，因为，OA=OU，OV=OW，∠AOV=∠WOU(公共角)。所以，△AOV △WOU(边、角、边)。则，∠OAV=∠OUW(全等三角形的对应角相等)。在△AWT和△TVU中，因为，AW=UV，

　　∠WAT=∠VUT，∠ATW=∠UTV(对顶角)。所以，△AWT △TVU(角、角、边)。则，AT=TU(全等三角形的对应边相等)。

　　因为，AS=TU，AT=TU。所以，AS=AT。又因为，AT=SU，AS=AT。所以，SU=AS。又因为，AS=UB，AS=SU。所以，AS=SU=UB。则，弧AS=弧SU=弧UB，∠AOS=∠SOU=∠UOB。

　　3 结束语

　　三等分一个任意角，其奥秘就是任意角所对的弦，在该弦上被分成三等份的两个分界点的垂直线，与 任意角所对的弦的交“点”上。通过上述论证，这个相交“点”，必定在三等分任意角的边上。再无他法。

　　2009年4日10日 完稿